Question

如图，在直角坐标系中放置一个边长为

2

的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（　　）

• A、

  2

  π+π
• B、2π+2
• C、3

  2

  π+3π
• D、6π+6

Answer 1

考点：旋转的性质,坐标与图形性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：画出点A第一次回到x轴上时的图形，根据图形得到点A的路径分三部分，以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C₁为圆心，C₁C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D₂点为圆心，D₂A₂为半径，圆心角为90°的弧，所以点A运动的路线与x轴围成的图形的面积就由三个扇形和两个直角三角形组长，于是可根据扇形面积和三角形面积公式计算，然后把计算结果乘以3即可得到答案．

解答：解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C₁为圆心，C₁C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D₂点为圆心，D₂A₂为半径，圆心角为90°的弧，
所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=

90•π•( 2 )2

360

×2+

90•π•22

360

+2×

1

2

×

2

×

2

=2π+2，
所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．
故选D．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．