Question

已知a、b是一元二次方程x²+x-3=0的两个实数根．
（1）求

a3-3a

a4-4a2+9

的值；
（2）求a³-4b²+19的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的解

专题：

分析：（1）由a是一元二次方程x²+x-3=0的实数根，可以得到a²+a-3=0，从而求出a²-3=-a，a-3=-a²，再根据问题的需要，灵活变形，即可求出答案．
（2）先根据a、b是一元二次方程x²+x-3=0的两个实数根，得出a²+a-3=0，b²+b-3=0，a+b=-1，再通过变形得出a³+a²-3a=0，a²+a=3，b²=3-b，a³=3a-a²，最后代入要求的式子进行计算即可．

解答：解：（1）∵a是一元二次方程x²+x-3=0的实数根，
∴把a代入方程可得a²+a-3=0，
∴a²-3=-a，a-3=-a²，
∴

a3-3a

a4-4a2+9

=

a(a2-3)

a4-3a2-a2+9

=

-a2

a2(a2-3)-a2+9

=

-a2

-a3-a2+9

=

-a2

-a(a2+a)+9

=

-a2

-3a+9

=

-a2

-3(a-3)

=

-a2

3a2

=-

1

3

；

（2）∵a、b是一元二次方程x²+x-3=0的两个实数根，
∴a²+a-3=0，b²+b-3=0，a+b=-1，
∴a³+a²-3a=0，a²+a=3，b²=3-b，
∴a³=3a-a²，
∴a³-4b²+19
=3a-a²-4b²+19
=4a-a-a²-4b²+19
=4a-（a+a²）-4b²+19
=4a-3-4（3-b）+19
=4a-3-12+4b+19
=4+4（a+b）
=4-4
=0．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出a+b的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．