Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）
（1）若m=1，求出此时方程的实数根；
（2）求证：方程总有实数根；
（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂）、若y是关于m的函数，且y=x₂-2x₁，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）

Answer 1

分析：（1）把m的值，代入方程，解方程即可；
（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；
（3）可根据求根公式求出x₁、x₂，代入y=x₂-2x₁中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．

解答：解：（1）若m=1，方程化为x²-5x+4=0
即（x-1）（x-4）=0，得x-1=0或x-4=0，
∴x₁=1或x₂=4；

证明：（2）∵mx²-（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，
∴△=[-（3m+2）]²-4m（2m+2）=m²+4m+4=（m+2）²
∵m≠0，
∴（m+2）²≥0，即△≥0
∴方程有实数根；

解：（3）由求根公式，得x=

(3m+2)±(m+2)

2m

．
∴x=

2m+2

m

或x=1
∵

2m+2

m

=2+

2

m

∵m＞0，
∴

2m+2

m

=2+

2

m

＞2
∵x₁＜x₂，
∴x₁=1，x2=

2m+2

m

∴y=x2-2x1=

2m+2

m

-2×1=

2

m

即y=

2

m

(m＞0)为所求．
此函数为反比例函数，其图象如图所示：即y=

2

m

(m＞0)为所求．
此函数为反比例函数，其图象如图所示：

点评：本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．