Question

反比例函数y=在第四象限的双曲线上有一点A，AB⊥x轴于B，OA=10，OB：AB=3：4
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将OB沿OC对折，使它落在斜边OA上与OD重合，求C点坐标？
（3）在x轴上是否存在点P使△POC为等腰三角形？不存在，说明理由；若存在，直接写出P的坐标（3个即可）

Answer 1

解：（1）∵Rt△OAB中，OA=10，OB：AB=3：4，
∴设OB=3x，AB=4x，
∴（3x）²+（4x）²=10²，解得x=2，
∴OB=6，AB=8，即A（6，-8），B（6，0），
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴k=6×（-8）=-48，
∴反比例函数的解析式为：y=-；

（2）∵△ODC由△OBC反折而成，
∴OD=OB=6，BC=DC，
∵OA=10，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
设BC=a，则AC=8-a，
在Rt△ACD中，AD²+CD²=AC²，即4²+a²=（8-a）²，解得a=3，
∴C（6，-3）；

（3）设P（p，0），
∵C（6，-3），
∴OC==3，
当OP=OC时，OP=3，
∴P₁（3，0），P₂（-3，0）；
当OP=PC时，p²=（p-6）²+（-3）²，解得p=，
∴P₃（，0）；
当OC=PC时，（p-6）²+3²=（3）²，解得p=12或p=0（舍去），
∴P₄（12，0）．
综上所述，P₁（3，0），P₂（-3，0），P₃（，0），P₄（12，0）．
分析：（1）先根据Rt△OAB中，OA=10，OB：AB=3：4可设OB=3x，AB=4x，由勾股定理可求出x的值，故可求出A、B两点的坐标，OB及AB的长，由此即可求出反比例函数的解析式；
（2）根据图形反折变换的性质可知，OD=OB=6，BC=CD，故可得出AD的长，设BC=a，则AC=8-a，在Rt△ACD中利用勾股定理可求出a的值，进而得出C点坐标；
（3）设P（p，0），由于等腰三角形的两腰不能确定，故应分OP=OC，OP=PC，OC=PC三种情况进行分类讨论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理及等腰三角形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．