Question

在平面直角坐标系XOY中，一次函数y=x+3的图象是直线l₁，l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0，点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l₂、y轴都相切，求此时a的值。

Answer 1

解：（1）∵一次函数的图象直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴y=0时，x=-4， ∴A（-4，0），AO=4， ∴x=0时，y=3， ∴B（0，3），BO=3， ∴AB=5， ∴A点坐标为（-4，0），AB的长为5；
（2）由题意得：AP=4t，AQ=5t， ∴， 又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∵点P在l1上， ∴⊙Q在运动过程中保持与l2相切， ①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ， ∴AQ=AO+OQ=4+PQ 由△APQ∽△AOB得： ∴ ∴PQ=6； 设l2与⊙Q相切于E，连接QE，则 ∵⊙Q与和都相切， ∴QE=PQ=6， 由△QEC∽△APQ∽△AOB，得：， ∵ ∴ ∴， ②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ， ∴AQ=AO-OQ=4-PQ 由△APQ∽△AOB得： ∴ ∴PQ=； 设l2与⊙Q相切于F，连接QF， 则∵⊙Q与l1和l2都相切， ∴QF=PQ=， 由△QFC∽△APQ∽△AOB，得：， ∴ ∴， ∴， ∴a的值为和。