Question

关于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x₁、x₂，且x₁²+x₂²=7．求（x₁-x₂）²的值．

Answer 1

【答案】分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可得x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-1，根据x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂代入可得关于m的方程，求得m的值．再根据（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂代入m的值，计算可得答案．
解答：解：∵x₁+x₂=m，x₁x₂=2m-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=m²-2（2m-1）=7；
解可得m=-1或5；
当m=5时，原方程即为x²-5x+9=0的△=-11＜0无实根，
当m=-1时，原方程即为x²+x-3=0的△=1+12=13＞0，有两根，
则有（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=13．
答：（x₁-x₂）²的值为13．
点评：主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x₁+x₂=-，x₁x₂=．把所求的代数式变形成x₁+x₂，x₁x₂的形式再整体代入是常用的方法之一．