Question

如图，直线y=-

3

3

x+b与y轴交于点A，与双曲线y=

k

x

在第一象限交于B、C两点，且AB•AC=4，则k=

 

．

Answer 1

分析：先求出直线与x轴和y轴的两交点D与A的坐标，根据OA与OD的长度求出比值即可得到角ADO的正切值，利用特殊角的三角函数值即可求出角ADO的度数，然后过B和C分别作y轴的垂线，分别交于E和F点，联立直线与双曲线方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理即可表示出EB与FC的积，然后在直角三角形AEB中利用cos∠ABE表示出EB与AB的关系，同理在直角三角形AFC中，利用cos∠ACF表示出FC与AC的关系，根据AB•AC=4列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答：解：对直线方程y=-

3

3

x+b，令y=0，得到x=

3

b，即直线与x轴的交点D的坐标为（

3

b，0），
令x=0，得到y=b，即A点坐标为（0，b），
∴OA=b，OD=

3

b，
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=

OA

OD

=

3

3

，
∴∠ADO=30°，即直线y=-

3

3

+b与x轴的夹角为30°，
∵直线y=-

3

3

x+b与双曲线y=

k

x

在第一象限交于点B、C两点，
∴-

3

3

x+b=

k

x

，即-

3

3

x²+bx-k=0，
由韦达定理得：x₁x₂=

c

a

=

3

k，即EB•FC=

3

k，
∵

EB

AB

=cos30°=

3

2

，
∴AB=

2 3

3

EB，
同理可得：AC=

2 3

3

FC，
∴AB•AC=（

2 3

3

EB）（

2 3

3

FC）=

4

3

EB•FC=

4

3

3

k=4，
解得：k=

3

．

点评：本题考查函数图象交点坐标的求法，同时考查了三角函数的知识，难度较大．