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    （2002•哈尔滨）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B、M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
    （3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）当x=0和x=2时，y的值相等，可知抛物线的对称轴为x=1，将x=1代入直线的解析式中即可求出抛物线顶点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
    （2）由于四边形QACP不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP两部分进行计算．先求出直线BM的解析式，然后将x=t代入直线BM的解析式中即可求出QP的长，然后根据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积．然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S，t的函数关系式．
    （3）可分三种情况进行讨论：
    ①NM=MC；②NM=NC；③MC=NC．可根据直线BM的解析式设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式表示出各线段的长，根据上面不同的等量关系式可得出不同的方程，经过解方程即可得出N点的坐标．
    解答：解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
    当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
    当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
    设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
    则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
    ∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．

    （2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
    易知直线BM的解析式为y=2x-6；
    当x=t时，y=2t-6；
    因此PQ=6-2t；
    ∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×（3+6-2t）×t+×3
    即：S四边形PQAC=-t2+t+（1＜t＜3）．

    （3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
    ∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
    则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
    MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
    △NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
    ①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
    ∴m1=，m2=1（舍去）．
    ∴N（，-）．
    ②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
    ∴m=1±．
    ∵1＜m＜3，
    ∴m=1-舍去．
    ∴N（1+，-4）．
    ③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
    解得m=2．
    ∴N（2，-2）．
    故假设成立．
    综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
    N1（，-），N2（1+，-4），N3（2，-2）．
    点评：本题主要考查了二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象的交点、等腰三角形的构成等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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