Question

14．如图，正方形ABCD的顶点A，B在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，点C，D分别在x轴，y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）当k=2时，正方形A′B′C′D′的边长等于$\sqrt{2}$．
（2）当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围是$\frac{2}{9}$＜k＜18．

Answer 1

分析 （1）过点A′作A′E⊥y轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设OD′=a，OC′=b，由此可表示出点A′的坐标，同理可表示出B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a、b的二元二次方程组，解方程组即可得出a、b值，再由勾股定理即可得出结论；
（2）由（1）可知点A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线A′B′、C′D′的解析式，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出m、n的值，从而得出点A的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k的取值范围．

解答 解：（1）如图，过点A′作A′E⊥y轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，则∠A′ED′=90°．

∵四边形A′B′C′D′为正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ED′A′=∠OC′D′}\\{∠A′ED′=∠D′OC′=90°}\\{A′D′=D′C′}\end{array}\right.$，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
设OD′=a，OC′=b，则EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，
即点A′（a，a+b），点B′（a+b，b）．
∵点A′、B′在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a（a+b）=2}\\{b（a+b）=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′=$\sqrt{OC{′}^{2}+OD{′}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．
（2）设直线A′B′解析式为y=k₁x+b₁，直线C′D′解析式为y=k₂x+b₂，
∵点A′（1，2），点B′（2，1），点C′（1，0），点D′（0，1），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2={k}_{1}+{b}_{1}}\\{1=2{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0={k}_{2}+{b}_{2}}\\{1={b}_{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-1}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{{b}_{2}=1}\end{array}\right.$．
∴直线A′B′解析式为y=-x+3，直线C′D′解析式为y=-x+1．
设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，n）．
当A点在直线C′D′上时，有2m=-m+1，解得：m=$\frac{1}{3}$，
此时点A的坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
∴k=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$；
当点D在直线A′B′上时，有n=3，
此时点A的坐标为（3，6），
∴k=3×6=18．
综上可知：当变化的正方形ABCD与（1）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为$\frac{2}{9}$＜k＜18．
故答案为：$\frac{2}{9}$＜k＜18．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）求出线段OD′、OC′的长度；（2）找出两正方形有重叠部分的临界点．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，本题是填空题，降低了难度，解决该题型题目时，结合点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k是关键．