Question

17．如图．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=BC=12，点P在斜边AB上，D是BC中点．
（1）当PC⊥AD时，求∠PAE的正切值：
（2）当PC⊥AD时，求证：△APC∽△BPD，∠BDP=∠ADC；
（3）当△APD为直角三角形时．求△PBD的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，过D作DM⊥AB于M，根据勾股定理得到AB=12$\sqrt{2}$，推出△BDM是等腰直角三角形，于是得到DM=BM=3$\sqrt{2}$，AM=9$\sqrt{2}$，即可得到结论；
（2）如图2，过B作BN⊥BC交CP的延长线于N，根据等腰直角三角形的性质得到∠1=45°，∠2=45°，根据直角三角形的性质得到∠3+∠4=90°，∠3+∠5=90°，推出∠3+∠N=90°，于是得到∠4=∠N，∠5=∠N，证得△ACD≌△BCN，得到AD=CN，CD=BN，求出BD=BN，推出△BPD≌△BPN，根据全等三角形的性质得到∠N=∠BDP，证得∠BDP=∠4，即可得到结论；
（3）当△APD为直角三角形时，分两种情况：①∠ADP=90°，如图3过D作DH⊥AB于H，则△BDH是等腰直角三角形，得到DH=BH=3$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=9$\sqrt{2}$，由射影定理得：PH=$\frac{D{H}^{2}}{AH}$=$\sqrt{2}$，②∠APD=90°，根据等腰直角三角形的性质得到DP=BP=3$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∵∠ACB=90°，AB=BC=12，
∴AB=12$\sqrt{2}$，
∴∠B=45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∵D是BC中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DM=BM=3$\sqrt{2}$，AM=9$\sqrt{2}$，
∴tan∠PAE=$\frac{DM}{AM}$=$\frac{1}{3}$；

（2）如图2，过B作BN⊥BC交CP的延长线于N，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠1=45°，
∴∠2=45°，
∵∠3+∠4=90°，
∵PC⊥AD，
∴∠3+∠5=90°，
∴∠3+∠N=90°，
∴∠4=∠N，∠5=∠N，
在△CD与△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBN=90°}\\{∠5=∠N}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCN，
∴AD=CN，CD=BN，
∵BD=CD，
∴BD=BN，
在△BDP与△BPN中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=BN}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△BPN，
∴∠N=∠BDP，
∴∠BDP=∠4，
∴△APC∽△BPD，∠BDP=∠ADC；

（3）当△APD为直角三角形时，
①∠ADP=90°，如图3过D作DH⊥AB于H，
则△BDH是等腰直角三角形，
∴DH=BH=3$\sqrt{2}$，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=9$\sqrt{2}$，
由射影定理得：PH=$\frac{D{H}^{2}}{AH}$=$\sqrt{2}$，
∴BP=2$\sqrt{2}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$PB•DH=6，
②∠APD=90°，
∴DP=BP=3$\sqrt{2}$，
∴S_△PBD=$\frac{1}{2}$PB•DH=9．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，射影定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．