Question

已知关于x的一元二次方程x²-2x+m=0．
（1）若-1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）判断命题“若m≤2，则方程x²-2x+m=0必有实数根”是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例．

Answer 1

分析：（1）根据两根之和可以求出方程的另一个根，两根之积可以求出m的值．
（2）利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，确定方程的根的情况，判断命题是否正确，并举出具体的数字说明．

解答：解：（1）解法一：设方程的另一根为x，
则

-1+x=2 -1•x=m

，
解得

x=3 m=-3

，
解法二：将x=-1代入方程，得：1+2+m=0，
解得：m=-3．
将m=-3代入方程，得x²-2x-3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
所以方程的另一根为x₂=3；

（2）命题不正确．
△=4-4m＞0，m＜1，
∴命题不正确．
反例：取m=2，满足m≤2，此时方程为x²-2x+2=0，
而根的判别式△=（-2）²-4×1×2=-4＜0，
此时方程没有实数根．
所以原命题不正确．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，（1）根据根与系数的关系，由两根之和求出方程的另一个根，两根之积求出m的值．（2）由判别式求出m的取值范围，判断命题不正确，然后用具体的数说明．