Question

9．如图，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，AB=10cm，点P从点B出发以5cm/s的速度沿BA向终点A运动，同时点Q以相同的速度从点A出发沿射线AG运动，分别以PB、PQ为边作等边△BPD，正方形PQEF，连接PE，设运动的时间为ts．
（1）当PE⊥AG时，求t的值；
（2）当△APQ是等腰三角形时，求t的值；
（3）当点F落在△BPD的边上时，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，设PE交AG于点M，过点Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，设QN=3k，AN=4k，则AQ=5k，列出方程即可角问题．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AP于H，分三种情形①当AQ=AP时，②当AP=PQ时，③当AQ=PQ时，列出方程即可．
（3））①如图3中，当点F在直线PD上时，作QH⊥AB于H，②如图4中，当点F在直线PB上时，③如图5中，当点F在BD边上时，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．
分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，设PE交AG于点M．

∵四边形PQEF是正方形，
∴PE⊥FQ，
∴当PE⊥AG时，点F在AG上，
∴PM=MQ，
过点Q作QN⊥AP于N，在RT△ANQ中，tan∠GAB=$\frac{3}{4}$，设QN=3k，AN=4k，则AQ=5k，
∴sin∠MAP=$\frac{3}{5}$，cos∠MAP=$\frac{4}{5}$，
∵AP=10-5t，
∴MQ═PM=AP•sin∠MAP=6-3t，AM=AP•cos∠MAP=8-4t，
∵AQ=5t，
∴5t+（6-3t）=8-4t，
∴t=$\frac{1}{3}$．
（2）如图2中，过点Q作QH⊥AP于H，

在RT△AQH中，AQ=5t，
∴AH=AQ•sin∠MAP=5t$•\frac{4}{5}$=4t，QH=AQ•sin∠MAP=3t，
∵AP=10-5t，
∴HP=10-9t，
在RT△PQH中，∵∠PHQ=90°，
∴PQ²=HQ²+PH²=（10-9t）²+（3t）²=90t²-180t+100，
①当AQ=AP时，10-5t=5t，解得t=1，
②当AP=PQ时，（10-5t）²=90t²-180t+100，解得t=$\frac{16}{13}$（或0舍弃），
③当AQ=PQ时，10-5t=3t，解得t=$\frac{10}{13}$，
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，t的值为1s，$\frac{16}{13}$s，$\frac{10}{13}$s．
（3）①如图3中，当点F在直线PD上时，作QH⊥AB于H，

∵∠QOH+∠DPB=90°，∠DPB=60°，
∴∠QPH=30°，
∴PF=PQ=2QH=6t＞5t，
∴PF＞PD，
这种情形不符合题意．
②如图4中，当点F在直线PB上时，

在RT△AQP中，∵AQ=5t．AP=4t，
又∵AP=10-5t，
∴4t=10-5t，
∴t=$\frac{10}{9}$，此时PQ=4t＜5t，符合题意．
③如图5中，当点F在BD边上时，作QH⊥AB于H，FM⊥AB于M．

由△QPH≌△PFM，得到QH=PM=3t，HP=FN=10-5t-4t=10-9t，
在RT△FNB中，∵∠B=60°，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（10-9t），
∵PM+BM=PB，
∴3t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（10-9t）=5t，
∴t=$\frac{10}{9+2\sqrt{3}}$．
综上所述t=$\frac{10}{9}$s或$\frac{10}{9+2\sqrt{3}}$s时，点F落在△BPD的边上．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用图象解决问题，把问题转化为方程是思考，属于中考压轴题．