分析 (1)根据正方形的性质得出AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,进而得出∠BAE=∠DAG,然后根据SAS即可证得△ABE≌△ADG.
(2)根据菱形的性质得出AD=AB,AG=AE,进而得出∠BAE=∠DAG,然后根据SAS即可证得△ABE≌△ADG.
(3)过点A作AM⊥BC于M,根据等腰三角形的性质得出BC=2CM,∠ACB=∠ABC=30°,进而求得AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3,CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$,BC=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$,然后根据SAS证得△ABD≌△ACE,从而得出阴影部分图形面积即为△ABC的面积,求得△ABC的面积即可.
解答 解:感知:∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD,
即∠BAE=∠DAG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADG(SAS);
探究:∵∠BAD=∠EAG,
∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD,
即∠BAE=∠DAG,
∵四边形AEFG和四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AE=AG,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADG(SAS);
应用:过点A作AM⊥BC于M,
∵AB=AC=6,∠BAC=120°,
∴BC=2CM,∠ACB=∠ABC=30°,
在RT△ACM中,AM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3,
CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$,
∴BC=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$,
∵∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE(SAS);
∴阴影部分图形面积即为△ABC的面积,
∴阴影部分图形面积为:$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×3=9$\sqrt{3}$.
点评 本题是四边形的综合题,考查了三角形全等的判定和性质,正方形的性质,菱形的性质,解直角三角形和勾股定理的应用等,熟练掌握性质定理是解题的关键.
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