Question

【题目】如图，已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于C、D两点，与y=交于A（m，2）、B（﹣2，n）两点．

（1）求m+n的值；

（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1．

①当不等式k1x+b＞时，请结合图象求x的取值范围；

②设点E在y轴上，且满足∠AEO+∠AOD=45°，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】(1)m+n=0;(2) ①x＞1或﹣2＜x＜0；②（0，5）或（0，﹣1）．

【解析】

（1）利用点A，B在反比例函数上，代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先表示出tan∠AOD和tan∠BOC，进而用tan∠AOD+tan∠BOC=1，建立方程借助m+n=0，求出m，n即可得出点A，B坐标，最后利用图象即可得出结论；
②分两种情况，
Ⅰ、当点E在AM上方时，先求出AO==，再判断出△AOM∽△E1ON，即可求出m的值．最后利用勾股定理求出OE1即可得出结论；

Ⅱ、当点E在AM下方时，利用对称性即可得出结论.

解：∵点A（m，2），B（﹣2，n）在反比例函数y=，

∴k2=2m，k2=﹣2n，

∴2m+2n=0，

∴m+n=0；

（2）①如图1，过点A作AM⊥y轴于M，过点B作BF⊥x轴于F，

在Rt△AOM中，tan∠AOM==，

在Rt△BOF中，tan∠BOF===﹣，

∵tan∠AOD+tan∠BOC=1，

∴+（﹣）=1，

∴m﹣n=2，

∵m+n=0，

∴m=1，n=﹣1，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），

∵k1x+b＞，

∴y1＞y2，

∴当x＞1或﹣2＜x＜0时，k1x+b＞；

②如图2，Ⅰ、当点E在AM上方时，过点E1作E1N⊥OA交OA的延长线于N，

由题意知，∠E1AN=45°，

∴∠E1AN=∠AE1N=45°，

∴E1N=AN，

在Rt△OAM中，AM=1，OM=2，

∴AO==，

设E1N=AN=m，

∴ON=OA+AN=+m，

∵∠AOM=∠E1ON，∠AMO=∠E1NO，

∴△AOM∽△E1ON，

∴，

∴，

∴m=，由勾股定理得，E1A=，E1M=3，

∴OE1=5，

∴E1（0，5）；

Ⅱ、当点E在AM下方时，由对称性得，E2M=E1M=3，

∴OE2=1，

∴E2（0，﹣1），

综合可知，点E的坐标为（0，5）或（0，﹣1）．