Question

【题目】（探究）如图①，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD=CD，点E、F分别在边AB、BC上，ED=FD，证明：∠ADE=∠CDF．

（拓展）如图②，在菱形ABCD中，∠A=120°，点E、F分别在边AB、BC上，ED=FD．若∠EDF=30°，求∠CDF的大小．

Answer 1

【答案】【探究】证明解析；【拓展】∠CDF=15°．

【解析】

（探究）根据HL证明Rt△AED≌Rt△CFD，可得结论；
（拓展）如图②，作辅助线，构建全等三角形，证明△AMD≌△CND，则MD=CN，∠MDA=∠NDC，根据菱形的性质得：∠ADC=60°，所以∠CDF+∠ADE=60°-30°=30°，可得结论．

（探究）如图①，在Rt△AED和Rt△CFD中，

∵ ，

∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），

∴∠ADE=∠CDF；

（拓展）解：如图②，过点D作DM⊥BA交BA延长线于点M，作DN⊥BC交BC延长线于点N，

∴∠AMD=∠CND=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠MAD=∠NCD，

∴△AMD≌△CND，

∴MD=CN，∠MDA=∠NDC，

由探究得：∠MDE=∠NDF，

∴∠MDE﹣∠MDA=∠NDF﹣∠NDC，即∠ADE=∠CDF，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=120°，

∴∠ADC=60°，

∵∠EDF=30°，

∴∠CDF+∠ADE=60°﹣30°=30°，

∵∠ADE=∠CDF，

∴∠CDF=15°．