Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE．

①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　 　；

②求证：△AEF是等腰三角形；

（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　 　．（只需直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）①k+1；②见解析；（2）y＝x+45°，理由见解析；（3）

【解析】

（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，过B过B点作BG∥AC交EF于G．得，再利用等腰三角形性质和判定即可解答；

（2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答；

（3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P'，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P'＝FP，当FP垂直AD时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解．

解：（1）

①∵AE＝kCE，

∴S△DAE＝kS△DEC，

∵S△DEC＝1，

∴S△DAE＝k，

∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1，

∵D为BC中点，

∴S△ABD＝S△ADC＝k+1．

②如图1，过B点作BG∥AC交EF于G．

∴，

在△BGD和△CED中，

，

∴（ASA），

∴BG＝CE，

又∵BF＝CE，

∴BF＝BG，

∴，

∴

∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．

（2）如图2，设AH与BC交与点N，∠2＝α．

则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，

∵AH∥BG，

∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，

∵∠CNH＝∠2+∠4，

∴2α＝α+∠4，

∴∠4＝α，

∵∠4＝∠BCG﹣∠2，

∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，

在△BGC中， ，即：，

在△ABC中， ，即：，

联立消去得：y＝x+45°．

（3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P'，

连接P'Q、P'F、PF、P'M、P'F、P'P'，

则FP'＝FP＝FP'，PQ＝P'Q，PM＝P'M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P'FM＝∠PFM，

∴∠P'FP'＝2∠AFD，

∵∠G＝100°，

∴∠BAC＝∠G+45°＝120°，

∵AE＝AF，

∴∠AFD＝30°，

∴∠P'FP'＝2∠AFD＝60°，

∴△FP'P'是等边三角形，

∴P'P'＝FP'＝FP，

∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP'≥P'P'＝FP，

当且仅当P'、Q、M、P'四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值．

，，，

，

，

当时，，

的周长最小值为．