Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，点D在AB上，点E在AC的延长线上，ED⊥AB，ED交BC于点F，AB＝DF，3DF＝5EF，CF＝l，则AC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作GB⊥AB，GF⊥DE，GB与GF交于点G，连接GC、GE．四边形BDFG是矩形,去确定A、B、G、C四点共圆。得到FG＝FE，又作HF⊥CF交CG于H，证明∴△GFH≌△EFC

再根据三角函数定义去设未知数求值即可.

如图，作GB⊥AB，GF⊥DE，GB与GF交于点G，连接GC、GE．

∵ED⊥AB于D，则四边形BDFG是矩形，

∴BG＝DF，GF＝BD，

∵AB＝DF，

∴AB＝BG，

∴∠AGB＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠ACB＝∠AGB，

∴A、B、G、C四点共圆，

∴∠ACG＝∠ABG＝90°，∠GCB＝∠ACB＝45°，

∴∠GFE＝∠GCE＝90°，

∴G、F、C、E四点共圆，

∴∠FGC＝∠FEC，∠FEG＝∠FCG＝45°，

∴FG＝FE，

作HF⊥CF交CG于H，则∠CFH＝∠GFE＝90°，FC＝FH，

∴∠GFH＝∠EFC，

在△GFH和△EFC中：

∴△GFH≌△EFC（AAS），

∴GH＝CE．

∵3DF＝5EF，

∴3DF＝5FG＝5BD，

∴∠tan∠DFB＝＝，

∴tan∠CGE＝＝tan∠CFE＝∠tan∠DFB＝，

设CE＝GH＝3x，则CG＝5x，所以CH＝2x，

∵CF＝1，

∴CH＝，

∴2x＝，

∴x＝，

∴CG＝5x＝，

∵tan∠CAG＝＝tan∠FBG＝∠tan∠DFB＝，

∴CA＝CG＝．