Question

（2013•南通一模）如图，直线y₁=k₁x-1与x轴正半轴交于点A（2，0），以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交直线y₁于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．
（1）求点F的坐标；
（2）设直线OF的解析式y₂=k₂x，y₁-y₂＞0，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把点A的坐标代入直线AD方程求得k₁=

1

2

，则直线AD的解析式为y₁=

1

2

x-1；然后由正方形的性质求得点D的纵坐标为2，则由一次函数y₁=

1

2

x-1图象上点的坐标特征知点D的横坐标是6，则易求正方形BDEF的边长为4．所以易求点F的坐标；
（2）把F的坐标代入直线OF的解析式求得k₂=3，所以由已知条件“y₁-y₂＞0”列出关于x的不等式

1

2

x-1-3x＞0，通过解不等式可以求得x的取值范围．

解答：解：（1）将A（2，0）代入y₁=k₁x-1得：k₁=

1

2

．
则直线AD的解析式为y=

1

2

x-1．
∵四边形OABC是正方形，
∴BC=OC=AB=OA=2，
在y=

1

2

x-1中，当y=2时，x=6，
∴CD=6
∴BD=CD-BC=6-2=4
∵四边形BDEF是正方形
∴BF=BD=4
∴AF=AB+BF=2+4=6
∴点F的坐标为（2，6）

（2）将F（2，6）代入y₂=k₂x，得k₂=3，
∵y₁-y₂＞0，
∴

1

2

x-1-3x＞0，
解得：x＜-

2

5

．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质以及一元一次不等式的解法．解答（2）题时，也可以求得直线OF与AD的交点的横坐标，然后利用图象直接写出x的取值范围．