Question

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

  3

• C、

  1

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：首先根据切线的性质和切线长定理证得四边形OECD是正方形，那么AC+BC-AB即为2R（⊙O的半径R）的值，由此可得到OD、CD的值，进而可在Rt△OBD中求出∠OBD的正切值．

解答：解：∵BC、AC、AB都是⊙O的切线，
∴CD=CE、AE=AF、BF=BD，且OD⊥BC、OE⊥AC；
易证得四边形OECD是矩形，由OE=OD可证得四边形OECD是正方形；
设OD=OE=CD=R，则：AC+BC-AB=AE+R+BD+R-AF-BF=2R，
即R=

1

2

（AC+BC-AB）=1，
∴BD=BC-CD=3-1=2；
在Rt△OBD中，tan∠OBD=

OD

BD

=

1

2

．
故选C．

点评：此题考查的是三角形的外切圆，切线长定理以及锐角三角形函数的定义，难度适中．