Question

如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．

（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=　　　 (用含k₁、k₂的式子表示)；

（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；

②记，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）；                        

（2）①EF∥AB．                   

证明：如图，

由题意可得A（4，0），B（0，3），， ．

∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．

∴，

∴．       

又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB．     

②S₂没有最小值，理由如下：

过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．

由上知M（0，），N（，0），Q（，）．   

而S_△EFQ= S_△PEF，

∴S₂＝S_△PEF－S_△OEF＝S_△EFQ－S_△OEF＝S_△EOM＋S_△FON＋S_矩形OMQN

＝

＝

=．                      

当时，S₂的值随k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12．  

∴0＜S₂＜24，s₂没有最小值．