Question

16．如图①，点A′、B′的坐标分别为（4，0）和（0，-8），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋90°转后得△ABO，点A′的对应点是A，点B′的对应点是点B．
（1）写出A、B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；
（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在线段AB上，点D不与A、B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
（3）当4＜x＜8时，是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可以得到OA=OA′，OB=OB′，则A，B的坐标就可以得到，根据待定系数法就可以求出直线AB的解析式．
（2）①OB=8，C点的位置应分两种情况进行讨论，当C在OB的中点或在中点与B之间时，重合部分是△CDE；当C在OB的中点与O之间时，重合部分是梯形，就可以得到函数解析式．
②求出S与x之间的函数解析式，根据函数的性质就可以得到面积的最值．
（3）分△ADE以点A为直角顶点和△ADE以点E为直角顶点，两种情况进行讨论．根据相似三角形的对应边的比相等，求出OE的长，就可以得到C点的坐标．

解答 解：（1）由旋转得，OA=OA′，OB=OB′，
∵点A′、B′的坐标分别为（4，0）和（0，-8），
∴OA′=4，OB′=8，
∴A（0，4），B（8，0），
设直线AB的解析式y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线AB的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+4，
（2）①Ⅰ、点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE．
则S_△CDE=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$（8-x）（-$\frac{1}{2}$x+4）=$\frac{1}{4}$（x-8）²，
∵CE=$\frac{1}{2}$OB=4
当E与O重合时
∴4≤x＜8
Ⅱ、当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形
∵△OFE∽△OAB
$\frac{OF}{OE}=\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$OE
又∵OE=8-2x
∴OF=4-x
∴S_{四边形CDFO}=$\frac{1}{2}$x{4-x+（-$\frac{1}{2}$x+4）=-$\frac{3}{4}$x²+4x
当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0）
∴0＜x＜4
综合Ⅰ、Ⅱ得，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（x-8）^{2}（4＜x＜8）}\\{-\frac{3}{4}{x}^{2}+4x（0＜x≤4）}\end{array}\right.$
②Ⅰ、当4≤x＜8时，s=$\frac{1}{4}$（x-8）²，
∴对称轴是直线x=8，
∵抛物线开口向上，
∴在4≤x＜8中，S随x的增大而减小
∴当x=4时，S的最大值=4，
Ⅱ、当0＜x＜4时，s=-$\frac{3}{4}$x²+4x
∴对称轴是直线x=$\frac{8}{3}$
∵抛物线开口向下∴当x=$\frac{8}{3}$时，S有最大值为$\frac{16}{3}$
综合①②当x=$\frac{8}{3}$时，S有最大值为$\frac{16}{3}$
（3）存在，点C的坐标为（5，0）
①当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E，
∵△AOE∽△BOA
∴$\frac{EO}{AO}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$
∵AO=4
∴EO=2
∴点E坐标为（-2，0）
∴点C的坐标为（3，0）（舍，4＜x＜8）
②当△ADE以点E为直角顶点时
同样有△AOE∽△BOA，
∴∴$\frac{EO}{AO}=\frac{AO}{BO}=\frac{1}{2}$
∴EO=2
∴E（2，0）
∴点C的坐标（5，0）
综合Ⅰ、Ⅱ知满足条件的坐标有（5，0）．

点评 此题四二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，求函数的最值，以及相似三角形的对应边的比相等．解本题的关键是确定函数关系式．