Question

【题目】如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1 ．

（1）平移抛物线l1 ， 使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．
①满足此条件的函数解析式有个．
②写出向下平移且经点A的解析式 ．
（2）平移抛物线l1 ， 使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2 ， 如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）无数；y=﹣x2﹣1
（2）

解：设l2的解析式是y=﹣x2+bx+c，

∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

根据题意得： ，

解得： ，

则l2的解析式是：y=﹣x2+ x﹣ ，

则顶点C的坐标是（ ，﹣ ）．

过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF= ，BE=1，DE=2，DF= ，FE= ．

得：S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=

方法二：

设l2的解析式为：y=﹣x2+bx+c，

∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），

根据题意得： ，

∴b= ，c=﹣ ，

∴l2的解析式是：y=﹣x2+ x﹣ ，

则顶点C（ ，﹣ ），过O点作x轴的垂线交AB于H，

∵A（1，﹣2），B（3，﹣1），

∴lAB：y= x﹣ ，把x= 代入，y=﹣ ，

∴H（ ，﹣ ），

∴S△ABC= =

（3）

解：延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y= x﹣ ，则点G的坐标为（0，﹣ ），设点P的坐标为（0，h）

①当点P位于点G的下方时，PG=﹣ ﹣h，连结AP、BP，则S△APG=S△BPG﹣S△ABP=（﹣ ﹣h）/2，

∴S△ABP=（﹣ ﹣h）

又∵S△ABC=S△ABP= ，得h=﹣ ，点P的坐标为（0，﹣ ）．

②当点P位于点G的上方时，PG= +h，同理得h=﹣ ，点P的坐标为（0，﹣ ）．

综上所述所求点P的坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣ ）

方法二：

直线AB与y轴的交点为D，

∵lAB：y= x﹣ ，∴D（0，﹣ ），

设P（0，t），

∴S△ABP= ，

∴ ，

∴t1=﹣ ，t2=﹣ ，

∴点P的坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣ ）．

【解析】解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；
②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把A（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，
解得：c=﹣1，
则函数的解析式是：y=﹣x2﹣1；