Question

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，CB=6，点D在线段CB的延长线上，且BD=2，点P从点D出发沿着DC向终点C以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿着折线C-B-A往终点A以每秒2个单位的速度运动．以PQ为直径构造⊙O，设运动的时间为t（t≥0）秒．
（1）当0≤t＜3时，用含t的代数式表示BQ的长度．
（2）当点Q在线段CB上时，求⊙O和线段AB相切时t的值．
（3）在整个运动过程中，
①点O是否会出现在△ABC的内角平分线上？若存在，
求t的值；若不存在，说明理由．
②直接写出点O运动路径的长度．

Answer 1

分析 （1）由题意BQ=BC-CQ=6-2t；
（2）分两种情况讨论：①当P，Q还未相遇时，如图1，②当P，Q相遇后，如图2，分别构建方程即可；
（3）①分三种情形讨论i）当点O在∠B的角平分线上时，如图3．ii）当点O在∠C的角平分线上时，如图4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．iii）当点O在∠A的角平分线上时，如图5，作∠A的角平分线交BC于点H，过点H做HI⊥AB于I．分别构建方程即可．
②由题意点O的运动路径为（6-4-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{（\frac{11}{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{185}}{2}$．

解答 解：（1）由题意BQ=BC-CQ=6-2t，
故答案为6-2t．

（2）分两种情况讨论：
①当P，Q还未相遇时，如图1，

CQ=2t，DP=t，QP=8-3t，OE=$\frac{1}{2}$QP=$\frac{8-3t}{2}$，
OB=BP+OP=$\frac{8-3t}{2}$+$\frac{2（t-2）}{2}$=$\frac{4-t}{2}$，
∵⊙O与AB相切，
∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{\frac{8-3t}{2}}{\frac{4-t}{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{24}{11}$．
②当P，Q相遇后，如图2，

BQ=6-2t，PQ=BP-BQ=（t-2）-（6-2t）=3t-8，
OE=$\frac{1}{2}$QP=$\frac{3t-8}{2}$，OB=OQ+BQ=$\frac{4-t}{2}$，
∵⊙O与AB相切，∴OE⊥AB，
∵sin∠ABC=$\frac{OE}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{\frac{3t-8}{2}}{\frac{4-t}{2}}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{56}{19}$．
综上所述，满足条件的t的值有t=$\frac{24}{11}$s或$\frac{56}{19}$s．

（3）①i）当点O在∠B的角平分线上时，如图3，

可得BQ=BP，即2t-6=t-2，解得t=4．

ii）当点O在∠C的角平分线上时，如图4，作QG⊥AC于G，OF⊥AC于F，QH⊥BC于H．

则GQ=AQ•sin∠BAC=$\frac{3}{5}$AQ=$\frac{3（16-2t）}{5}$，
同理可得GC=QH=$\frac{4}{5}$BQ=$\frac{4（2t-6）}{5}$，
在梯形CPQG中，OF是中位线，则OF=$\frac{1}{2}$（GQ+CP）
=$\frac{1}{2}$[$\frac{3（16-2t）}{5}$+（8-t）]=$\frac{88-11t}{10}$，
∵点O在∠C的角平分线上，∴CF=OF．
$\frac{88-11t}{10}$=$\frac{2（2t-6）}{5}$，解得t=$\frac{112}{19}$．
iii）当点O在∠A的角平分线上时，如图5，作∠A的角平分线交BC于点H，过点H做HI⊥AB于I，

则HI=CH．
∵sin∠ABC=$\frac{HI}{HB}=\frac{AC}{AB}$，则$\frac{HI}{HB}$=$\frac{4}{5}$，
∴CH=HI=$\frac{8}{3}$，∴tan∠CAH=$\frac{1}{3}$，
由ii）中得OF=（GQ+CP）=$\frac{88-11t}{10}$，
CF=$\frac{2（2t-6）}{5}$，AF=AC-CF=$\frac{52-4t}{5}$，
∴tan∠CAH=$\frac{OF}{AF}=\frac{{\frac{88-11t}{10}}}{{\frac{52-4t}{5}}}=\frac{1}{3}$，解得t=$\frac{32}{5}$．
综上所述，当t=4s或$\frac{112}{19}$s或$\frac{32}{5}$s时，点O会出现在△ABC的内角平分线上．
②由题意点O的运动路径为（6-4-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{（\frac{11}{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{3+\sqrt{185}}{2}$．

点评 本题考查圆综合题、解直角三角形、锐角三角函数、角平分线的性质、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．