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(2012•安庆二模)在直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD=1,AB=3,BC=4,M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,始终保持AM⊥MN、NP⊥BC.
(1)证明:△CNP为等腰直角三角形;
(2)设NP=x,当△ABM≌△MPN时,求x的值;
(3)设四边形ABPN的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并指出x取何值时,四边形ABPN的面积最大,最大面积是多少.
分析:(1)过D做BC的垂线,设垂足为F,则DF=AB=3,而FC=BC-BF=3,即△DFC是等腰直角三角形,所以∠C=45°,因为NP⊥BC,所以△NPC是等腰直角三角形;
(2)当△ABM≌△MPN时,则BM=NP=PC=x,AB=MP=3,又因为MP=BC-(BM+PC)=4-2x,进而求出x的值;
(3)由题意可知四边形ABPN是直角梯形,根据梯形的面积公式和二次函数的性质即可求出y与x之间的函数关系式,由此可指出x取何值时,四边形ABPN的面积最大,最大面积是多少.
解答:解:(1)过D做BC的垂线,设垂足为F,
∵∠B=90°,AD∥BC,
∴∠BAD=∠B=∠DFB=90°,
∴四边形ADFB是矩形,
∴AB=DF=3,AD=BF=1
∵BC=4,
∴FC=BC-BF=3,
∴DF=FC,
∴△DFC是等腰直角三角形,
∴∠C=45°,
∴NP⊥BC,
∴△NPC是等腰直角三角形;

(2)∵△ABM≌△MPN,
∴BM=NP=PC=x,AB=MP=3,
又∵MP=BC-(BM+PC)=4-2x,
∴4-2x=3,得x=
1
2


(3)∵AB⊥BC,NP⊥BC,
∴四边形ABPN为直角梯形,
∴y=
1
2
×(AB+PN)×BP=
1
2
(3+x)×(4-x)
=
1
2
(-x2+x+12)
=-
1
2
x2+
1
2
x+6,
∴当x=
1
2
时,y有最大值
49
8
点评:本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及直角梯形的面积公式和二次函数的性质,题目的综合性很好,难度中等.
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