Question

8．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接CE，若CE=6，AC=8，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可证明OC∥AD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，于是得到∠2=∠3；
（2）连接BC，BE，BE交OC于F，如图，先利用圆周角定理得到∠AEB=90°，易得四边形DEFC为矩形，则OC⊥BE，根据垂径定理得到$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，所以BC=CE=6，于是可计算出AB=10，接着证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比计算出AD，证明Rt△DEC∽Rt△CBA，利用相似比计算出DE，然后计算AD-DE即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3
又∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接BC，BE，BE交OC于F，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
易得四边形DEFC为矩形，
∴OC⊥BE，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{BC}$，
∴BC=CE=6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠3=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AD=$\frac{8×8}{10}$=6.4，
∵∠DEC=∠ABC，
∴Rt△DEC∽Rt△CBA，
∴DE：BC=CE：AB，
∴DE=$\frac{6×6}{10}$=3.6，
∴AE=AD-DE=6.4-3.6=2.8．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．