Question

如图所示，在正三角形ABC内有一点M，且MA=3，MB=4，MC=5．
（1）求∠BMA的度数；
（2）求正三角形ABC的面积．
（提示：把△ACM绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合）

Answer 1

分析：（1）先把△ACM绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，连接MM′，由图形旋转的性质可知△AMC≌△AM'B，所以∠BAM'=∠CAM，AM=AM'，∠MAM'=∠BAC，故MM'=MA，再根据勾股定理的逆定理得出△MM'B是直角三角形且∠M'MB=90°，由此即可得出结论；
（2）过B作AM延长线的垂线，垂足为Q，由（1）知∠BAM=150°，故可得出∠BMQ=30°，由直角三角形的性质可得出BQ、MQ的长，故可得出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：（1）把△ACM绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，连接MM′，如图所示，
∵△ABM′由△ACM旋转而成，
∴△AMC≌△AM'B，
∴∠BAM'=∠CAM，AM=AM'．
∵∠BAC=60°，
∴∠MAM'=∠BAC=60°，
∴△MAD是等边三角形，
∴MM'=MA=3．
∵M'B=MC=5，MB=4
∴M'M²+MB²=M'B²，
∴△MM'B是直角三角形且∠M'MB=90°，
∴∠BMA=90°+60°=150°；

（2）如图所示，过B作AM延长线的垂线，垂足为Q，
∵由（1）知，∠BMA=150°，
∴∠BMQ=180°-∠BMA=180°-150°=30°
∴BQ=

MB

2

=2，MQ=

3

BQ=2

3

，
∴AQ=MA+MQ=3+2

3

，
∴AB²=AQ²+BQ²=（3+2

3

）²+2²=25+12

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AB•sin60°=

1

2

×（25+12

3

）×

3

2

=9+

25 3

4

．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知图形旋转不变性的性质及勾股定理的逆定理是解答此题的关键．