如图.将正n边形绕点A顺时针旋转60°后.发现旋转前后两图形有另一交点O.连接AO.我们称AO为“叠弦 ,再将“叠弦 AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后.交旋转前的图形于点P.连接PO.我们称∠OAB为“叠弦角 .△AOP为“叠弦三角形．[探究证明](1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形是等边三角形,(2)如图2.求证:∠OAB=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

12．如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．
【探究证明】
（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；
（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．
【归纳猜想】
（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；
（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）
（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°-$\frac{180°}{n+3}$（用含n的式子表示）

分析（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；
（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON 即可；
（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；
（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；
（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．

解答解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，
∴∠DAP=∠D'AO，
∴△APD≌△AOD'（ASA）
∴AP=AO，
∵∠OAP=60°，
∴△AOP是等边三角形，

（2）如图2，

作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．
∵五边形ABCDE是正五边形，
由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°
∴∠EAP=∠E'AO
∴△APE≌△AOE'（ASA）
∴∠OAE'=∠PAE．
在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AE=AB
∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS），
∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．
在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN
∴Rt△APM≌Rt△AON （HL）．
∴∠PAM=∠OAN，
∴∠PAE=∠OAB
∴∠OAE'=∠OAB （等量代换）．

（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，
∴∠DAP=∠D′AO，
在△AD′O和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD′=AB}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AD′O≌△ABO，
∴∠D′AO=∠BAO，
由旋转得，∠DAD′=60°，
∵∠DAB=90°，
∴∠D′AB=∠DAB-∠DAD′=30°，
∴∠D′AO=$\frac{1}{2}$∠D′AB=15°，
∵图2的多边形是正五边形，
∴∠EAB=$\frac{（5-2）×180°}{5}$=108°，
∴∠E′AB=∠EAB-∠EAE′=108°-60°=48°
∴同理可得∠E′AO=$\frac{1}{2}$∠E′AB=24°，
故答案为：15°，24°．

（4）如图3，

∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，
∴∠F=F′=120°，
由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，
∴△APF≌△AE′F′，
∴∠PAF=∠E′AF′，
由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO
∴∠PAO=∠FAO=60°，
∴△PAO是等边三角形．
故答案为：是
（5）由图1中的多边形是四边形，图2中的多边形五边形，图3中的多边形是六边形，
∴图n中的多边形是正（n+3）边形，
同（3）的方法得，∠OAB=[（n+3-2）×180°÷（n+3）-60°]÷2=60°-$\frac{180°}{n+3}$．
故答案：60°-$\frac{180°}{n+3}$．

点评此题是几何变形综合题，主要考查了正多边形的性质旋转的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定，解本题的关键是判定三角形全等．

练习册系列答案

暑假作业北京科学技术出版社系列答案

复习计划100分期末暑假衔接中原农民出版社系列答案

快乐暑假东南大学出版社系列答案

新课堂假期生活暑假生活北京教育出版社系列答案

暑假作业重庆出版社系列答案

快乐的假期生活暑假作业哈尔滨出版社系列答案

暑假作业内蒙古大学出版社系列答案

期末加暑假加衔接全优假期年度总复习云南科技出版社系列答案

暑假作业与生活陕西师范大学出版总社系列答案

寒假作业兰州大学出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

2．

光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其它天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电550度．
（1）求这个月晴天的天数．
（2）已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本（不计其它费用，结果取整数）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

3．

我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．
问题思考：
（1）如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；
（2）如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B．小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

问题拓展：
（3）如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程；
（4）如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM．设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON足够长）