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    13．已知：∠MON=36°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

    （1）如图1，若AB∥ON，则
    ①∠ABO的度数是18°；
    ②当∠BAD=∠ABD时，x=126；当∠BAD=∠BDA时，x=63．
    （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

    分析 （1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得①∠ABO的度数；②根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和，可得x的值；
    （2）分两种情况进行讨论：AC在AB左侧，AC在AB右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．

    解答 解：（1）如图1，①∵∠MON=36°，OE平分∠MON，
    ∴∠AOB=∠BON=18°，
    ∵AB∥ON，
    ∴∠ABO=18°；

    ②当∠BAD=∠ABD时，∠BAD=18°，
    ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
    ∴∠OAC=180°-18°×3=126°；
    当∠BAD=∠BDA时，∵∠ABO=18°，
    ∴∠BAD=81°，∠AOB=18°，
    ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°，
    ∴∠OAC=180°-18°-18°-81°=63°，
    故答案为：①18°；②126，63；

    （2）如图2，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角．
    ∵AB⊥OM，∠MON=36°，OE平分∠MON，
    ∴∠AOB=18°，∠ABO=72°，
    ①当AC在AB左侧时：
    若∠BAD=∠ABD=72°，则∠OAC=90°-72°=18°；          
    若∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-72°}{2}$=54°，则∠OAC=90°-54°=36°；            
    若∠ADB=∠ABD=72°，则∠BAD=36°，故∠OAC=90°-36°=54°；
    ②当AC在AB右侧时：
    ∵∠ABE=108°，且三角形的内角和为180°，
    ∴只有∠BAD=∠BDA=$\frac{180°-108°}{2}$=36°，则∠OAC=90°+36°=126°．     
    综上所述，当x=18、36、54、126时，△ADB中有两个相等的角．

    点评 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．

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