Question

18．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H
问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？
（2）AG是否与CE相等？
（3）AG与CE之间的夹角为多少度？
（4）HD是否平分∠AHE？
（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得AD=CD，∠ADC=∠GDE=90°，进而得出∠ADG=∠CDE，DG=DE，然后由SAS即可判定△ADG≌△CDE；
（2）根据全等三角形的性质则可证得AG=CE；
（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90°；
（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．

解答 解：（1）∵ABCD和DEFG是正方形，
∴AD=CD，DG=DE，且∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠ADG=∠CDE，
在△ADG与△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDE}\\{DG=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
（2）∵△ADG≌△CDE，
∴AG=CE；
（3）CE与DG交点为O，

∵△ADG≌△CDE，
∴∠DEC=∠AGD，
∵∠DEC+∠DOE=90°，
∴∠AGD+∠DOE=90°=∠AGD+∠GOH，
∴∠GHE=90°；
（4）过点D作MD⊥AG，DN⊥CE，
∵△ADG≌△CDE，
∴S_△DCE=S_△ADG，
∴$\frac{1}{2}×CE×DN=\frac{1}{2}×AG×DM$，
∴DM=DN，且MD⊥AG，DN⊥CE，
∴DH平分∠AHE

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，关键是由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得AD=CD，∠ADC=∠GDE=90°．