Question

一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（　　）条．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：
（1）若直线过△ABC的某个顶点；
（2）若直线交△ABC的某两条边．

解答：解：（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，
假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN=NC，此时，AC＞AB，
所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；


（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，
设BN=x，则BM=12-x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD=

8(12-x)

10

；
根据S_△MBN=

1

2

MD•BN=

1

2

S_△ABC，
得BN=6+

6

，BM=6-

6

，即这样的直线存在，且只有一条，
综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．
故选A．

点评：此题主要分情况考虑．分析的时候，首先保证符合其中一个条件，再进一步看是否满足另一个条件．