Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=

m

x

的图象交于点A，与x轴交于点B，AC⊥x轴于点C，tan∠ABC=

2

3

，AB=2

13

，OB=OC．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若一次函数与反比例函数的图象的另一交点为D，作DE⊥y轴于点E，连接OD，求△DOE的面积．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求得AC=4，BC=6；然后由已知条件“OB=OC”求得点A、B的坐标；最后将其代入直线方程和反比例函数解析式，即利用待定系数法求函数的解析式；
（2）由反例函数y=

k

x

的几何意义可知，S_△DOE=

1

2

|k|．

解答：解：（1）∵AC⊥x轴于点C，∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

CB

=

2

3

，
设 AC=2a，BC=3a，则AB=

AC2+BC2

=

13

a．
∴

13

a=2

13

．   
 解得：a=2．
∴AC=4，BC=6．   …（2分）
又∵OB=OC，∴OB=OC=3．∴A（-3，4）、B（3，0）．   …（4分）
将A（-3，4）、B（3，0）代入y=kx+b，∴

-3k+b=4 3k+b=0.

解得：

k=- 2 3 b=2.

…（6分）
∴直线AB的解析式为：y=-

2

3

x+2．                    …（7分）
将A（-3，4）代入y=

m

x

(m≠0)得：4=-

m

3

．解得：m=-12．
∴反比例函数解析式为y=-

12

x

．                         …（8分）

（2）∵D是反比例函数y=-

12

x

上的点，DE⊥y于点E，
∴由反例函数的几何意义，得S_△DOE=

1

2

×12=6．…（10分）

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．