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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且 ,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC

(1)判断OBBP的数量关系,并说明理由;

(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.

【答案】(1OB=BP,理由见解析(23

【解析】解:(1OB=BP。理由如下:连接OC

∵PC⊙O于点C∴∠OCP=90°

∵OA=OC∠OAC=30°∴∠OAC=∠OCA=30°

∴∠COP=60°∴∠P=30°

Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP

2)由(1)得OB=OP

∵⊙O的半径是2∴AP=3OB=3×2=6

∴∠CAD=∠BAC=30°∴∠BAD=60°

∵∠P=30°∴∠E=90°

Rt△AEP中,AE=AP=×6=3

1)首先连接OC,由PC⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP

2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由,即可得∠CAD=∠BAC=30°,从而求得∠E=90°,从而在Rt△AEP中求得答案。

练习册系列答案
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