Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E是射线DA上一点，连接EB，以点E为圆心EB长为半径画弧，交射线CB于点F，作射线FE与CD延长线交于点G．

（1）如图1，若DE=5，则∠DEG=______°；

（2）若∠BEF=60°，请在图2中补全图形，并求EG的长；

（3）若以E，F，B，D为顶点的四边形是平行四边形，此时EG的长为______．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）见解析，EG=4+2；（3）2

【解析】

（1）由题意可得AE=AB=3，可得∠AEB=∠ABE=45°，由矩形的性质可得AD∥BC，可得∠AEB=∠EBF=45°，∠EFB=∠GED，结合等腰三角形的性质，即可求解；

（2）由题意画出图形，可得∠F=∠5=60°，可得∠6=∠G=30°，由直角三角形的性质可得AE=，DE=2+，由直角三角形的性质可得EG的长；

（3）由平行四边形的性质可得EF=BD，ED=BF，由等腰三角形的性质可得AE=AD=2，由勾股定理可求EF=BE=，由EH∥CG∥BM，H是BF的中点，B是HC的中点，即可求解．

（1）∵DE=5，AB=3，AD=2，

∴AE=AB=3，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥CB，

∴∠AEB=∠EBF=45°，∠EFB=∠GED，

∵EF=EB，

∴∠EFB=∠EBF=45°，

∴∠GED=45°，

故答案为：45；

（2）如图1所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠1=∠2=∠3=∠ABF=∠C=90°．

∵∠4=60°，EF=EB，

∴∠F=∠5=60°．

∴∠6=∠G=30°，

∴AE=BE．

∵AB=3，

∴根据勾股定理可得：AE2+32=(2AE)2，解得：AE=，

∵AD=2，

∴DE=2+，

∴EG=2DE =4+2；

（3）如图2，连接BD，过点E作EH⊥FC，延长BA交FG于点M，

∵四边形EDBF是平行四边形，

∴EF=BD，ED=BF，

∵EF=BE，

∴EB=BD，且AB⊥DE，

∴AE=AD=2，

∴BF=DE=4，

∵EB==，

∴EF=，

∵EF=BE，EH⊥FC，

∴FH=BH=2=BC，

∴CH=4，

∵EH⊥BC，CD⊥BC，AB⊥BC，

∴EH∥CG∥BM，

∵H是BF的中点，B是HC的中点，

∴E是FM的中点，M是EG的中点，

∴EG═2EF=2

故答案为：2