【题目】阅读资料:阅读材料,完成任务:材料 阿尔·花拉子密(约 780~约 850),著名数学家、天文学家、地理学家,是代数与算术的整理者,被誉为“代数之父”。
他用以下方法求得一元二次方程 x2+2x-35=0 的解:
将边长为 x 的正方形和边长为 1 的正方形,外加两个长方形,长为 x,宽为 1,拼合在一起的面积是 x2+2×x×1+1×1,而由 x2+2x-35=0 变形得 x2+2x+1=35+1(如图所示),即右边边长为 x+1 的正方形面积为 36。
所以(x+1)2=36,则 x=5.
任务:请回答下列问题
(1)上述求解过程中所用的方法是( )
A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法
(2)所用的数学思想方法是( ) 的的
A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.转化思想 D.公理化思想
(3)运用上述方法构造出符合方程 x2+8x-9=0 的一个正根的正方形
【答案】(1)C;(2)B;(3)见解析
【解析】
(1)根据题意可知解题过程使用的是配方法;
(2)根据题意可知所用的数学思想方法是数形结合思想;
(3)因为x2+8x-9=x2+8x+16-25=0,所以x2+8x+16=25,即(x+4)2=25,由此可以构造出边长为x+4的正方形,然后可以得到x+4=5即可解题.
(1)根据题意可得到材料中使用的解题方法是配方法,故选C.
(2)根据题意可知解答是通过正方形的性质来进行求解的,故选B.
(3)如图所示,
大正方形边长为x+4,四个面积和为x2+4x+4x+16=x2+8x+16,
而x2+8x9=x2+8x+1625=0.
所以x2+8x+16=25,即x+4=5,所以x=1.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E,DF∥AB交BC于点F.
(1)求证:四边形BEDF为菱形;
(2)如果∠A=90°,∠C=30°,BD=6,求菱形BEDF的面积.
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【题目】将两块大小相同的含30°角的直角三角板(=30°)按图1的方式放置,固定三角板ABC然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图2所示的位置,AB与AC交于点E,AC与AB交于点F,AB与AB交于点O.
(1)求证:;
(2)当旋转角等于30°时,AB与AB垂直吗?请说明理由。
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【题目】(1)已知某抛物线与抛物线y=﹣2x2+3x﹣1的形状和开口方向都相同,并且其对称轴为x=1,函数的最大值为4,求此抛物线的解析式;
(2)已知一个二次函数图象经过(﹣1,10),(1,4),(2,7)三点,求它的解析式;
(3)某抛物线过点(1,0),(﹣2,0)并且与直线y=2x﹣1的交点的纵坐标为5,求此抛物线的解析式.
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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0.
(1)若方程有两个实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1x2-x1-x2=,求m的值.
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【题目】为了推动阳光体育运动的广泛开展,引导学生走向操场,积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用,现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制了统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______,图①中的值为_____;
(2)本次调查获取的样本数据的众数为______,中位数为________;
(3)根据样本数据,若学校计划购买200双运动鞋,建议购买35号运动鞋多少双?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,经几秒钟△PBQ与△ABC相似?试说明理由.
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【题目】用适当的方法解方程。
(1)4(x-3) =36
(2)x2-4x+1=0.
(3)-7x+6=0
(4)
(5)(y-1)2+2y(1-y)=0.
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