[题目](1)如图①.在等边△ABC中.点M是BC边上的任意一点(不含端点B.C).连结AM.以AM为边作等边△AMN.连结CN．试判断∠ABC与∠ACN的大小关系．并说明理由．(2)如图②在等边△ABC中.点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C).其他条件不变.(1)中结论还成立吗?请说明理由．(3)若点M是CB延长线上的任意一点(不含端点B).请直接写出∠ACN的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（问题解决）

（1）如图①，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．试判断∠ABC与∠ACN的大小关系．并说明理由．

（类比探究）

（2）如图②在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．

（拓展延伸）

（3）若点M是CB延长线上的任意一点（不含端点B），请直接写出∠ACN的度数．

【答案】（1）∠ABC＝∠CAN，理由见解析；（2）∠ABC＝∠ACN仍成立，理由见解析；（3）∠ACN＝120°，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABC＝∠ACN；

（2）原理同上；

（3）由题意先画出图形，根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABM＝∠ACN＝120°；

（1）∠ABC＝∠ACN；理由如下：

∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN；

（2）∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：

∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN；

（3）∠ACN＝120°，理由如下：

如图③所示：

∵△ABC、△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，

∵在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴∠ABM＝∠ACN＝120°．

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