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    【题目】（问题解决）

    （1）如图①，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．试判断∠ABC与∠ACN的大小关系．并说明理由．

    （类比探究）

    （2）如图②在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．

    （拓展延伸）

    （3）若点M是CB延长线上的任意一点（不含端点B），请直接写出∠ACN的度数．

    【答案】（1）∠ABC＝∠CAN，理由见解析；（2）∠ABC＝∠ACN仍成立，理由见解析；（3）∠ACN＝120°，理由见解析

    【解析】

    （1）根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABC＝∠ACN；

    （2）原理同上；

    （3）由题意先画出图形，根据等边三角形的性质可得：AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，从而证出∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，再利用SAS证出△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可证出∠ABM＝∠ACN＝120°；

    （1）∠ABC＝∠ACN；理由如下：

    ∵△ABC、△AMN是等边三角形，

    ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

    ∴∠BAM＝∠CAN，

    ∵在△BAM和△CAN中，

    ，

    ∴△BAM≌△CAN（SAS），

    ∴∠ABC＝∠ACN；

    （2）∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：

    ∵△ABC、△AMN是等边三角形，

    ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

    ∴∠BAM＝∠CAN，

    ∵在△BAM和△CAN中，

    ，

    ∴△BAM≌△CAN（SAS），

    ∴∠ABC＝∠ACN；

    （3）∠ACN＝120°，理由如下：

    如图③所示：

    ∵△ABC、△AMN是等边三角形，

    ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

    ∴∠BAM＝∠CAN，∠ABM＝120°，

    ∵在△BAM和△CAN中，

    ，

    ∴△BAM≌△CAN（SAS），

    ∴∠ABM＝∠ACN＝120°．

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    （1）延长AD到E，使DE＝AD，连结CE．

    ①结合提示画出图形；

    ②结合图形写出你认为正确的两条结论，并选其中一条加以证明；

    （2）请直接写出所求的线段BC的长度．

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    【题目】（1）如图矩形的对角线、交于点，过点作，且，连接，判断四边形的形状并说明理由．

    （2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．

    （3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．

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    【题目】水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：

    （1）容器内原有水多少？

    （2）求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？

    图 ① 图②

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    【题目】请阅读下列材料：

    问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．

    探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？

    小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．

    请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．

    （1）求证：四边形是矩形；

    （2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．

    理由：

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    列问题：

    当时，判断的形状，并说明理由；

    设的面积为，求与的函数关系式；

    作交于点，连接，当为何值时，．

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