Question

8．已知a、h、k为三数，且二次函数y=a（x-h）²+k在坐标平面上的图象通过（0，2）、（6，8）两点．若a＜0，0＜h＜6．
（1）试用含a的代数式表示h；
（2）问是否存在满足a和h同时为整数的函数表达式，若存在请写出此关系式，若不存在请简要说明理由；
（3）若二次函数y=a（x-h）²+k在坐标平面上的图象通过（0，m）、（6，n）两点，满足a＜0，0＜h＜6，探究：随着m与n的大小关系的变化，指出对应的h的取值范围．

Answer 1

分析 （1）列出方程组消去k即可解决问题．
（2）不存在．理由是当a是整数时，h不可能是整数．
（3）分三种情形讨论即可．根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由对称轴位置列出不等式即可解决问题．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{2=a{h}^{2}+k}&{①}\\{8=a（6-h）^{2}+k}&{②}\end{array}\right.$
②-①得到，6=36a-12ah，
∴h=3-$\frac{1}{2a}$，

（2）不存在．理由如下：
∵a，h是整数，
∵h=3-$\frac{1}{2a}$，
∴当a是整数时，h不可能是整数，
∴不存在．

（3）①当m=n时，h=3．
②当m＜n时，则点（0，m）到对称轴的距离大于点（6，n）到对称轴的距离，所以h-0＞6-h，
∴h＞3，
∴3＜h＜6．
③当m＞n时，则点（0，m）到对称轴的距离小于点（6，n）到对称轴的距离，所以h-0＜6-h，
∴h＜3，
∴0＜h＜3．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．