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(本题满分9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,⊙C经过点O,交x轴的正半轴于点B (2,0),P是上的一个动点,且∠OPB=30°.设P点坐标为(m,n).

(1)当n=2,求m的值;

(2)设图中阴影部分的面积为S,求S与n之间的函数关系式,并求S的最大值;

(3)试探索动点P在运动过程中,是否存在整点P(m,n)(横、纵坐标都为整数的点叫整点)?若存在,请求出;若不存在,请说明理由.

(1)、m=0或2;(2)、S=n+,最大值为:2+;(3)、不存在.

【解析】

试题分析:(1)、根据角度的关系得出△OCB为等边三角形,从而求出OD和CD的长度,然后根据圆的轴对称性求出m的值;(2)、阴影部分的面积等于三角形的面积加上扇弧的面积;(3)、根据题意求出m的值,然后分别计算出n的值,看是否有符合条件的.

试题解析:

(1)、过点C作CD⊥OB

∵∠OPB=30° ∴∠OCB=60° ∴△OCB为等边三角形 ∴OC=OB=2

∴OD=1,CD= ∴当n=2时,根据圆的对称性 得m=0或2.

、S=×2n+()=n+

∴当n=2+时,S最大值为2+.

、动点P在运动过程中,不存在整点.

∵-1≤m≤3,横坐标可取整数为-1,0,1,2,3

当m=-1,3时,n= 当m=0,2时,n=2 当m=1时,n=2+

以上对应的纵坐标n均不是整数 ∴动点P在弧OwB运动过程中,不存在整点.

考点:圆的基本性质.

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