Question

理解与应用
小明在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第37页遇到这样一道题：
如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP．要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是

 

，或

 

．
请回答：
（1）小明补充的条件是

 

，或

 

．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC²=AB²+AB•BC．求∠B的度数．

Answer 1

分析：（1）由∠A是公共角，可得要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；
（2）首先延长AB到点D，使BD=BC，易得△ACB∽△ADC，然后由相似三角形的对应角相等，求得3∠D+60°=180°，则可求得∠D的度数，继而求得答案．

解答：解：（1）∵∠A是公共角，
∴要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是：∠APC=∠ACB，∠ACP=∠B，或

AP

AC

=

AC

AB

等；

（2）如图，延长AB到点D，使BD=BC，
∵∠A=∠A，AC²=AB²+AB•BC=AB（AB+BC）=AB•（AB+BD）=AB•AD，
∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB=∠D，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠D，
在△ACD中，
∵∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，
∴3∠D+60°=180°，
∴∠D=40°，
∴∠B=80°．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．