Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E在BC上，点D在CA的延长线上，DE交AB于点O，且∠CDE=30°，AD=nBE．
（1）如图1，当n=

3

时，求证：OA=OB；
（2）如图2，当n=1时，求

OB

OA

的值；
（3）当n=

 

时，

OB

OA

=

1

2

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点B作BF⊥BC，交DE的延长线于点F，利用已知条件可证明△BOF≌△AOD，根据全等三角形的性质即可得到OB=OA；
（2）由（1）可知BF∥CD，所以△BOF∽△AOD，进而求出

OB

OA

的值；
（3）由（2）可知△BOF∽△AOD，所以可求出进而可求出BF：AD=BO：AD的值，再利用30°角的锐角三角函数值即可求出n的值．

解答：（1）证明：过点B作BF⊥BC，交DE的延长线于点F，
∵∠C=90°，
∴BF∥CD，
∴∠F=∠D=30°，
∴BF=

3

BE，当n=

3

时，
即AD=

3

BE，
∴BF=AD，
在△BOF和△AOD中，

∠F=∠D ∠BOF=∠AOD BF=AD

，
∴△BOF≌△AOD（AAS），
∴OB=OA；
（2）由（1）可知BF∥CD，
∴△BOF∽△AOD，
∴

OB

OA

=

BF

AD

=

BF

BE

=

3

；
（3）∵△BOF∽△AOD，
∴BF：AD=BO：AD，
∵OB：OA=1：2，
∴BF：AD=1：2，
∵AD=nBE．
∴BE=

1

n

AD，
∴BE=

1

n

×2BF=

2

n

BF，
∵∠F=30°，
∴

BE

BF

=

3

3

，
∴

2

n

=

3

3

，
∴n=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及30°角的锐角三角形函数值，题目的综合性较强，难度不小．