Question

19、如图，在△ABC中，AB=AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB²-AP²=PB•PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB²=BP²+AP²，即AB²-AP²=BP²，而BP=CP，易得BP•CP=BP²，那么此题得证；
（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB²=AD²+BD²，同理有AP²=AD²+DP²，易求AB²-AP²的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP•CP，从而可证AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知
BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP²、AB²，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
易求BP•CP的值，从而可证AP²-AB²=BP•CP．

解答：证明：（1）如右图所示，连接AP，
∵AB=AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP=CP，
在rt△ABP中，AB²=BP²+AP²，
∴AB²-AP²=BP²，
又∵BP=CP，
∴BP•CP=BP²，
∴AB²-AP²=BP²；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
同理，AP²=AD²+DP²，
∴AB²-AP²=AD²+BD²-（AD²+DP²）=BD²-DP²，
又∵BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，
∴BP•CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD²-DP²，
∴AB²-AP²=BP•CP；
（3）AP²-AB²=BP•CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=CD，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
在Rt△ADP中，AP²=AD²+DP²，
∴AP²-AB²=（AD²+BD²）-（AD²+DP²）=PD²-BD²，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP²-BD²，
∴AP²-AB²=BP•CP．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用BD、DP的和差来表示BP和CP．