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如图,已知△ABC,以AB为直径的⊙O经过BC的中点D,DE⊥AC于E。

(1)求证: DE是⊙O的切线;
(2)若, DE="6," 求⊙O的直径。
(1)证明见解析;(2)8.

试题分析:(1)连OD,先证明OD∥AC,再证明OD⊥DE.
(2)由∠C的余弦值得到∠C的度数,接着可得到三角形BOD是等边三角形,由此得三角形ABC也是等边三角形.求出DC就可得到AB.
试题解析:(1)证明:如图,连接OD;

∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°.
∵O为AB中点,D为BC中点,
∴OD为△ABC的中位线.
∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC=90°.
即OD⊥DE.
∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线.

∴∠C=60°.
∵OD∥AC,
∴∠BDO=∠C=60°.
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB=60°.
∴△ABC为等边三角形.
∵在△EDC中,∠DEC=90°,DE=6,
∴DC=4
∵D为BC中点,
∴BC=2DC=8
∴AB=8
∴⊙O的直径为8
考点: 切线的判定.
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