如图已知二次函数图象的顶点为原点, 直线的图象与该二次函数的图象交于点(8,8),直线与轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)为线段上的一个动点(点与不重合),过作轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与轴交于点E.设线段PD的长为,点的横坐标为t,求与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段上是否存在点,使得以点P、D、B为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)设二次函数的解析式为,因为A(8,8)在抛物线上,所以,。
从而抛物线的解析式为.由于直线与y轴交于点B,所以B(0,4).
(2) 由于点P在直线上,所以P(t,.因为PD⊥x轴,点D在抛物线上,
所以D(t,),所以.若点P与点A重合,则t=8,若P与B重合,则t=0.所以0<t<8。
(3)过点B作x轴的平行线,交抛物线于点D1,过D1作x轴的垂线交直线AB于点P1,则
△P1D1B∽△BOC,此时D1的坐标为(,P1()。若过点B作AB的垂线交
抛物线于点D2,作D2P2∥y轴,则△P2D2B∽△BCO,此时B(0,4),D2(t,),P2()。BP2=,P2D2=,由于,即,解得:t1=,t2=,∵t>0,∴t=,此时P2(,2)。综上所述,满足条件的P的坐标是P()或P(,2)。
【解析】(1)根据抛物线的图象特征设出适当的函数关系式,由(8,8)利用待定系数法可得二次函数的解析式,在中当x=0时就得到y轴的交点为B的坐标;
(2)PD的长等于点P的纵坐标减去点D的纵坐标,即得到与t之间的函数关系式,且点P在线段AB上就可得到自变量t的取值范围;
(3)根据相似三角形的对应边成比例及勾股定理可求得点的坐标。
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科目:初中数学 来源:内蒙古自治区中考真题 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2013届海南洋浦中学九年级上期末考试数学试卷(带解析) 题型:解答题
如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年湖北省武汉市武昌区七校联考九年级(上)期中数学试卷(解析版) 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年海南洋浦中学九年级上期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图已知二次函数图象的顶点为原点,直线的图象与该二次函数的图象交于A点(8,8),直线与x轴的交点为C,与y轴的交点为B.
(1)求这个二次函数的解析式与B点坐标;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点,与x轴交于点E.设线段PD的长为h,点P的横坐标为t,求h与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在线段AB上是否存在点P,使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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