Question

某大型生活超市销售一种进口奶粉A，从去年1至7月，这种奶粉的进价一路攀升，每罐A奶粉的进价y₁与月份x（1≤x≤7，且x为整数），之间的函数关系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
y1（元/千克）	230	240	250	260	270	280	290

随着我国对一些国家进出口关税的调整，该奶粉的进价涨势趋缓，在8至12月份每罐奶粉A的进价y₂与月份x（8≤x≤12，且x为整数）之间存在如下图所示的变化趋势．
（1）请观察表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识分别直接写出y₁与x和y₂与x的函数关系式．
（2）若去年该奶粉的售价为每罐360元，且销售该奶粉每月必须支出（除进价外）的固定支出为4000元，已知该奶粉在1月至7月的销量p₁（罐）与月份x满足：p₁=30x+240；8月至12月的销量p₂（罐）与月份x满足：p₂=-30x+750；则该奶粉在第几月销售时，可使该月所获得的利润最大？并求出此时的最大利润．
（3）今年1月到4月，受到国际方面因素的影响，该进口奶粉的进价进行调整，每月进价均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）增加了15%，已知该进口奶粉的售价在去年的基础上提高了m%（m＜100），与此同时每月的销量均在去年12月的基础上减少了0.2m%，这样销售下去要使今年1至4月的总利润为122000元，试求出m的值．（m取整数值）（参考数据：53²=2809，54²=2916，55²=3025，56²=3136）

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）根据每月增加10千克可知y₁与x是一次函数关系，设y₁=k₁x+b₁，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；设y₂=k₂x+b₂然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）设利润为W元，然后分①当1≤x≤7时，根据总利润=每千克的利润×销量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；②当8≤x≤12时，根据总利润=每千克的利润×销量列式整理，再根据二次函数的增减性求出最大值；
（3）根据4个月的总利润=每罐的销售利润×销售量-固定支出列出方程，然后设m%=t，换元后解一元二次方程即可得解．

解答：解：（1）设y₁=k₁x+b₁，
则

k1+b1=230 2k1+b1=240

，
解得

k1=10 b1=220

，
所以，y₁=10x+220，
设y₂=k₂x+b₂，
∵函数图象经过点（8，295），（12，315），
∴

8k2+b2=295 12k2+b2=315

，
解得

k2=5 b2=255

，
所以，y₂=5x+255；

（2）设利润为W元，
①当1≤x≤7时，
W₁=（360-10x-220）•（30x+240）-4000=-300x²+1800x+29600，
∵-

b

2a

=-

1800

-600

=3，
∴当x=3时，W₁有最大值，W_max=-300×3²+1800×3+29600=32300；
②当8≤x≤12时，
W₂=（360-5x-255）（-30x+750）-4000，
=150x²-6900x+74750．
∵-

b

2a

=-

-6900

300

=23，x＜23，
∴W₂随x增大而减小，
∴x=8时，W₂有最大值，W_max=29150；
∴在第3月时，可获最大利润32300；

（3）4×[360（1+m%）-（315+15）]•（-30×12+750）（1-0.2m%）-4×4000（1+15%）=122000，
令m%=t，原方程化为（1+12t）（1-

1

5

t）-3=0，
整理得，12t²-59t+10=0，
∴t=

59± 3001

24

≈

59±55

24

，
t₁=

4

24

≈16.7%，t₂=

114

24

=475%，
∴m₁≈17，m₂=475（舍去），
∴m=17．

点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，待定系数法求一次函数解析式，阅读量较大，读懂题目信息，理解利润的表示并列出算式是解题的关键．