图形在折叠过程中会形成相等的边和相等的角.下面是同学们在数学课上所做的三角形.四边形折叠实验.请根据实验过程解决问题:问题(一)如图①.一张三角形ABC纸片.点D.E分别是△ABC边上两点．研究(1):如果沿直线DE折叠.使A点落在CE上.则∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′=2∠A,,研究(2):如果折成图②的形状.猜想∠BDA′.∠CEA′和∠A的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．图形在折叠过程中会形成相等的边和相等的角，下面是同学们在数学课上所做的三角形、四边形折叠实验，请根据实验过程解决问题：
问题（一）
如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．
研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是∠BDA′=2∠A；；
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．

问题（二）
研究（4）：将问题（一）推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．（直接写出结论）

分析（1）先根据折叠性质得∠A=∠AA′D，然后根据三角形外角性质易得∠BDA′=2∠A；
（2）图②，连结AA′，先根据三角形外角性质得∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，则∠BDA′+∠CEA=∠A+∠A′，所以∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）理由如下：图③，由折叠性质得∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，再根据三角形内角和得（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，接着利用平角定理得到2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°，然后整理得到∠BDA′-∠CEA′=2∠A；
（4）先由折叠性质得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，然后根据平角定义和四边形内角和得到∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）=2（∠A+∠B）-360°．

解答解：（1）∵△ABC沿直线DE折叠，使A点落在CE上，图①，
∴∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′=∠A+∠AA′D=2∠A；
（2）图②，连结AA′，
∵∠BDA′=∠1+∠2，∠CEA=∠3+∠4，
∴∠BDA′+∠CEA=∠1+∠3+∠2+∠4=∠A+∠A′，
而∠A=∠AA′D，
∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
理由如下：图③，
由翻折可得：∠A′=∠A，∠DEA′=∠DEA，∠A′DE=∠ADE，
由内角和性质得：（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）=360°，
∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°-∠BDA′）=360°
∴2∠A+∠CEA′-∠BDA′=0，
∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A；
（4）由折叠性质得∠A′EF=∠AEF，∠B′FE=∠BFE，
∴∠1+∠2=180°-（∠A′EF+∠AEF）+180°-（∠B′FE+∠BFE）
=180°-2∠AEF+180°-2∠BFE
=360°-2（360°-∠A-∠B）
=2（∠A+∠B）-360°．
故答案为∠BDA′=2∠A；∠BDA′+∠CEA′=2∠A；∠BDA′-∠CEA′=2∠A；∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

点评本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质、三角形外角性质．

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∴∠A+∠ACD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
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