Question

16．设x₁，x₂是2x²-5x+1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
 （1）x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$；           
（2）（x₁-3）（x₂-3）；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；          
（4）（x₁-x₂）²．

Answer 1

分析 根据x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两个根，得出x₁+x₂和x₁x₂的值，再把要求的式子进行整理即可得出答案．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程2x²-5x+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$，
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{25}{4}$-1=$\frac{21}{4}$；
（2）（x₁-3）（x₂-3）=x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=$\frac{1}{2}$-3×$\frac{5}{2}$+9=2；
（3）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{21}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{21}{2}$；
（4）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{5}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．