Question

7．已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点G、F、H、E是分别边AB、BC、DC、AD上的点，分别沿HE，GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，则AE=（　　）

• A． 1或$\frac{8}{3}$
• B． 2或$\frac{8}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$
• D． $\frac{5}{2}$或$\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 设AE=x，则DE=7-x．根据折叠的性质得出BF=EF=DE=7-x．过E作EM⊥BC于M，则EM=AB=4，MF=7-2x．在Rt△EMF中根据勾股定理得出EM²+MF²=EF²，即4²+（7-2x）²=（7-x）²，解方程即可．

解答 解：设AE=x，则DE=AD-AE=7-x．
∵分别沿HE，GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，
∴BF=EF=DE=7-x．
过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，
∴EM=AB=4，BM=AE=x，MF=BF-BM=7-x-x=7-2x．
在Rt△EMF中，∵∠EMF=90°，
∴EM²+MF²=EF²，即4²+（7-2x）²=（7-x）²，
整理得，3x²-14x+16=0，
解得x=2或$\frac{8}{3}$，
则AE=2或$\frac{8}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键．