Question

7．在坐标系中，A、B两点坐标分别为（-4，0）、（0，2），以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
①求边AB的长； 
②求点C的坐标；
③你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请画出M点，并直接写出△MDB周长的最小值；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析 ①直接利用坐标系中两点间的距离公式即可；
②先判断出，△BCE≌△ABO，进而得出CE=OB=2，BE=OA=4，即可得出点C坐标；
③同②的方法得出点D坐标，再作出点B关于x轴的对称点，连接DG即可找出点M，利用两点间的距离公式求出DG，BD，即可得出△MDB周长的最小值．

解答 解：①∵A、B两点坐标分别为（-4，0）、（0，2），
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
②如图1，

∵A、B两点坐标分别为（-4，0）、（0，2），
∴OA=4，OB=2，
过点C作CE⊥OB于E，
∴∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
在△BCE和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AOB=90°}\\{∠CBE=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
∴CE=OB=2，BE=OA=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（2，6）；
③如图2，过点D作DF⊥OA于F，
同②的方法得出，△ADF≌△BAO，
∴DF=OA=4，AF=OB=2，
∴OF=OA+AF=6，
∴D（-6，4），

作出点B关于x轴的对称点G，连接DG交x轴于M，
∵B（0，2），
∴G（0，-2），BM=GM，
∵D（-6，4），
∴BD=2$\sqrt{10}$，DG=$\sqrt{{6}^{2}+（-2-4）^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
∴△MDB周长的最小值=BD+BM+DM=BD+GM+DM=BD+DG=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平面坐标系中两点间的距离公式，全等三角形的判定和性质，对称性，解本题的关键是判断出△BCE≌△ABO，是一道比较简单的中考常考题．