Question

若k为正整数，且一元二次方程（k-1）x²-px+k=0的两根为正整数，求k^kp（p^p+k^k）+（p+k）的值．

Answer 1

分析：设原方程的两个根分别为x₁，x₂，再有根与系数的关系可得到关于k的不等式，根据方程的两根及k为整数即可求出方程的两根及k的值，再代入所求代数式即可求解．

解答：解：设原方程的两个根分别为x₁，x₂，
∵原方程有两个正整数根，
根据韦达定理得x₁•x₂=

k

k-1

＞0，①
且它的值为整数变形得1+

1

k-1

＞0，

1

k-1

＞-1，
又∵

1

k-1

为整数，
∴

1

k-1

=1
∴k=2，代入①得x₁•x₂=2，
∴x₁=1，x₂=2，
把k=2，x=1（或者2也可以）代入原方程得p=3，
∴k^kp（p^p+k^k）+（p+k）=2^2×3（3³+2²）+（3+2）=1989．
故答案为：1989．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，根据根与系数的关系列出关于k的不等式是解答此题的关键．