Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：DF•DE=CE•CB；
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到三角形ADF与三角形DEC相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；
（2）根据AE与BC垂直，得到两个角为直角，利用勾股定理求出BE与DE的长，由三角形ADF与三角形DEC相似，得比例，求出AF的长即可．

解答 （1）证明：∵平行四边形ABCD，∠AFE=∠B，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFD，
∴△ADF∽△DEC，
∴$\frac{DF}{AD}$=$\frac{EC}{DE}$，即DF•DE=CE•AD，
则DF•DE=CE•CB；
（2）解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，EC=3-$\sqrt{7}$，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AF}{DC}$，即$\frac{3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{AF}{4}$，
解得：AF=2$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．