Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕点D逆时针旋转m度后（0＜m＜360），如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边所在的直线上，那么m=100°或120°．

Answer 1

分析 由于BD=2CD，则把Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，点B的对应点B′可能落在AB或BC边上，分类讨论：当旋转后点B的对应点B′落在AB边上，如图1，根据旋转的性质得DB′=DB，∠B′DB=m，再根据等腰三角形的性质得∠DB′B=∠B=40°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠B′DB=180°-∠DB′B-∠B=100°；当点B的对应点B′落在AB边上，如图2，根据旋转的性质得∴DB′=DB，∠B′DB=m，由于BD=2CD，则DB′=2CD，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠CB′D=30°，再利用互余计算出∠CDB′=60°，然后利用邻补角的定义得到∠B′DB=120°．

解答 解：当旋转后点B的对应点B′落在AB边上，如图1，

∵Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜360°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∴∠DB′B=∠B=40°，
∴∠B′DB=180°-∠DB′B-∠B=100°，即m=100°；
当点B的对应点B′落在AB边上，如图2，

∵Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜360°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∵BD=2CD，
∴DB′=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠CB′D=30°，
∴∠CDB′=60°，
∴∠B′DB=180°-60°=120°，即m=120°，
综上所述，m的值为100°或120°．
故答案为：100°或120°

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰三角形的性质．